Urne d'Ehrenfest - avec N quelconque

Énoncé

On considère le modèle des urnes d'Ehrenfest avec N boules,

1. Combien peut-il y avoir de boules dans l'urne A ?

2. Justifier que, pour \(0, le graphe ne relie l'état  \(k\)  qu'aux états  \(k-1\)  et  \(k+1\) . Que dire des états  \(0\)  et  \(N\)  ?

3. Tracer le graphe de la chaîne de Markov qui compte le nombre de boules dans l'urne A.

4. Donner la matrice de transition de ce graphe dans le cas \(N=5\) .

Pour toute la suite de l'exercice, on gardera  \(N=5\) .

5. Quelle est la distribution initiale \(X_0\)  de cette chaîne de Markov ? 

6. Calculer  \(X_1, X_2, X_3, X_4\) .

7. Y a-t-il une distribution invariante ? Si oui, la calculer.